Równanie Schrödingera dla orbitalu 2s atomu wodoru w jednostkach atomowych (rok 2015)

Zrobiłem wtedy wprawkę z obliczania postaci tego równania:

    Dodatek 25.08.2020. Ostatnie równianie można wykorzystać do obliczenia energii stanu 2s z wykorzystaniem metody Monte Carlo i algorytmu Metropolisa.  Należy zwrócić uwagę, że energia lokalna nie zależy od wartości e^-cr.

27. Anegdota o kołosówce (kwiecień 2011)

    W ramach doświadczeń z chemii kwantowej zrobiłem nalewkę z pomarańczy... Nie, to nie żart. Opis przygotowania nalewki znalazłem w książce L. Pieli "Idee chemii kwantowej", Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.

Oto zdjęcie eksperymentu:

    Dopisek 18.07.2013. Historia tej nalewki ma dalszy ciąg. W któreś tam wakacje, postanowiłem napisać do prof. Pieli list. Przedstawiłem tam, w żartobliwym tonie, historię zrobienia nalewki. Reakcja profesora Pieli była niezwykle interesująca. Odpisał słowami, które mogły zawierać wiadomość, że bardzo się cieszy z udanego eksperymentu i zapytał, czy może wykorzystać tę historyjkę w nowym wydaniu "Idei chemii kwantowej", gdyż jest to swoiste sprawdzenie doświadczalne zawartości książki. 

    Ucieszyłem się ogromnie z tej odpowiedzi i oczywiście wyraziłem zgodę. Problem jest taki, że nie sprawdziłem, czy w nowym wydaniu książki rzeczywiście znalazła się owa historyjka. Tym niemniej, ogromnie cieszy, gdy poważny naukowiec ma taki sympatyczny dystans do tej, piekielnie trudnej, dziedziny chemii, jaką jest chemia kwantowa.

Model stałej gęstości radialnej (2012)

Kiedyś, dawno temu zrobiłem z piłeczki ping-pongowej i szpilek model, który miał pokazywać układ ze stałą gęstością radialną. Idea jest prosta, skoro gęstość radialna to jest całkowita ilość elementów, które znajdują się w infinitezymalnie cienkiej warstwie kulistej, to modelem takiej warstwy jest powierzchnia piłeczki. Przez tę powierzchnię przechodzą promieniście wbite szpilki. Przez każą warstwę kulistą o nieco większej (lub nieco mniejszej) średnicy przechodzi taka sama liczba szpilek, a to oznacza, że gęstość radialna jest jednakowa w każdej z analizowanych warstw (zdjęcie poniżej):

Jak to jest z tą glicyną (i innymi aminokwasami) 2013

 Właśnie obejrzałem interesujący filmik o właściwościach amfoterycznych aminokwasów: http://www.youtube.com/watch?v=QB4rEGe1GIk.

    Wszystko jest dobrze do momentu, w którym pojawiają się (1m30s) schematy reakcji, jakim ulega glicyna. Otóż, na schematach pojawia się wzór półstrukturalny glicyny, w którym z jakichś względów kwasowa grupa karboksylowa nie przereagowała z zasadową grupą aminową. Wprawdzie znajdują się one w jednym związku, ale ten fakt nie zmienia ich charakteru na tyle, żeby nie mogły reagować ze sobą, jak na porządny kwas i na porządną zasadę przystało.

    Problem leży chyba w tym, że jest to poziom tłumaczenia chemii charakterystyczny dla szkoły średniej. Tam czasem celowo zapomina się o chemii w jednym miejscu, żeby wytłumaczyć chemię w innym miejscu. Tu zapomina się, że grupa COOH, jest grupą kwasową, a NH₂ to grupa zasadowa. Na filmie zapomniano, że reakcja protonu grupy karboksylowej z parą elektronową atomu azotu grupy aminowej jest jak najbardziej prawidłowa (przy okazji, nieprawidłowo zastosowano zgiętą strzałkę, ale to już nieco inna bajka):

    Chwilę później przypomniano sobie, że grupa NH₂ jest jednak zasadą. Tyle, że nie reaguje z protonami własnej grupy kwasowej, a z protonami dodanego kwasu solnego. No cóż, grupa aminowa aż taka wybredna nie jest ponieważ reaguje z protonami z dowolnego źródła, jeśli tylko znajdzie się ono w jej zasięgu. Tym źródłem jest "własna" grupa karboksylowa glicyny, czy się to dydaktykom podoba, czy nie. Jedyne, o co można zapytać, to wyjaśnienie, czy wszystkie grupy zasadowe przereagują z wszystkimi grupami kwasowymi. Innymi słowy jest to pytanie o równowagę takiej reakcji, czyli o moc kwasów i zasad.  Tu należy odpowiedzieć następująco. Jeśli weźmiemy z półki słoik z glicyną (należy pamiętać o fartuchu, okularach ochronnych i rękawiczkach gumowych), to kryształki wewnątrz zbudowane są z cząsteczek, których strukturę można określić, jako sól wewnętrzną 1, natomiast coś takiego jak 2 nie występuje niemal wcale.

    Jeśli rozpuścimy tę glicynę w wodzie, to w roztworze będą występować niemal wyłącznie cząsteczki 1. Sytuacja jest do tego stopnia dziwna, że nawet manipulowanie pH nie spowoduje, iż pojawią się cząsteczki takie, jak 2! Obniżanie pH roztworu glicyny (na przykład za pomocą kwasu solnego) spowoduje pojawianie się coraz większej ilości cząsteczek, takich jak poniżej,

które możemy nazwać chlorkiem glicyniowym. Jeśli do pierwotnego roztworu glicyny będziemy dodawać zasadę, na przykład NaOH, to zacznie ubywać cząsteczek 1 a przybywać takich, jak poniżej,

czyli cząsteczek glicynianu sodu. Na całej skali pH nie ma miejsca (i w stanie stałym też) dla tworów

z niezobojętnionymi grupami (2).

   Nie jestem pewny, czy należy zaciemniać chemię wybiórczo, żeby jednocześnie wybiórczo ją wyjaśniać. Może należy tłumaczyć mniej ale za to dokładniej?

25. Tylko elektrony (Only electrons) - 21.05.2013

 Czasem na wykładach robię taki eksperyment w ramach przerwy między tematami naukowymi. Pocieram dłonią o dłoń i pytam niewinnie, co ociera się o co. Jeśli otrzymam odpowiedź, że dłoń o dłoń, to potakuję i drążę temat dalej. Najczęściej padają kolejne uszczegółowienia - że ocierają się cząsteczki o cząsteczki, albo atomy o atomy. 

I w tym wypadku nie daję za wygraną i przyznając rację odpowiadającym, proszę o bardziej konkretną odpowiedź. Ta odpowiedź wreszcie pada - pocieramy elektrony o elektrony! dodaję potem, że niczego materialnego więcej nie ma wokół nas, tylko i wyłącznie elektrony! No bo niby co więcej? Ogromne bogactwo form to nic innego, tylko elektrony uwikłane w oddziaływania z protonami i promieniowaniem elektromagnetycznym. Doprawdy zdumiewające!

23. O nauczaniu wedle pewnego studenta - 2013

 Przypominałem sobie informacje o transformacji Fouriera bo były mi potrzebne do zagadnienia magnetycznego rezonansu jądrowego. Bardzo dużo tych informacji jest w sieci. Jedna z takich informacji, którą znalazłem w Internecie odnosiła się do tego, co pewien student wie na ten temat (a okazało się, że wie sporo). Ów student przygotował sprawozdanie na temat treści wykładowych, które obejmowały min. zagadnienie wspomnianej transformacji. (tu był link do sprawozdania, ale AGH już usunęła tamto konto). Mnie zainteresował jednak osobisty stosunek autora sprawozdania do tego, co umie sam, co było na wykładzie i co było wymagane na egzaminie. Ten stosunek został przedstawiony graficznie. Szanując prawa autorskie, zrobiłem własnoręcznie kopię, którą przedstawiam poniżej:

 Mam nadzieję, że średnio rzecz biorąc tak nie jest. O ile stosunek wiedzy studenta do wiedzy wykładowej może być uznany za prawidłowy, o tyle rozdzielność wiedzy studenta i treści egzaminacyjnych prawidłowy już nie jest. Te dwa zbiory powinny mieć jednak część wspólną. 

20. IBM i macierz Z (zbiór współrzędnych wewnętrznych)

Nieopublikowana w swoim czasie notatka (2014).

Przygotowuję zestaw macierzy Z (zbiór współrzędnych wewnętrznych) do zajęć z chemii teoretycznej, na których przedstawiam elementy grafiki molekularnej. Podczas pracy uświadomiłem sobie, że mogę odtworzyć słynny napis IBM wykonany z atomów ksenonu [1]. Zadanie okazało się niezbyt trudne, a oto wynik tej pracy:

Oczywiście oryginał przedstawia stożki gęstości elektronowej atomów ksenonu, natomiast powyższa grafika molekularna obrazuje atomy, jako kule. Tym niemniej zabawa była fajna :)

Odnośnik:

 1. Napis IBM w publikacji (http://www.cnet.com/news/ibms-35-atoms-and-the-rise-of-nanotech/)

10. Głos o gęstościach elektronowych na kanwie pewnej książki

Ten wpis powstał w roku 2007.

Na stronie 183. książki Lucjana Pieli pt: Idee Chemii Kwantowej znajduje się takie zdanie: Gdyby zadać pytanie: w jakiej odległość od jądra najłatwiej znaleźć elektron [podkreślenie moje W.S.], odpowiedź byłaby taka, jaką dano w szkole: w odległości pierwszej orbity Bohra. Łatwo to wykazać przez obliczenie... Tyle podręcznik, który jest gwiazdą błyszczącą na ubogim niebie polskich książek o chemii kwantowej.

Matematyka jest bezwzględna i pokazuje maksimum na krzywej radialnej gęstości elektronowej. To fakt. Problem może polegać na tym, że gdyby podobną interpretację gęstości radialnej rozciągnąć na inne obiekty, to można dojść do dziwnych wniosków.

Oczywiście powstaje natychmiast pytanie, czy wolno nam rozciągać interpretację na inne obiekty. Ale jeśli te obiekty są kulistosymetryczne a początek kartezjańskiego układu współrzędnych umieścić w ich geometrycznym środku, to nic nie stoi na przeszkodzie, żeby napisać całkiem ogólną zależność gęstości radialnej od gęstości:

Równanie 1.

Jeśli zgodzić się, że powyższy wzór jest słuszny np. dla gęstości masy, albo innej gęstości to dość gładko popada się w kłopoty interpretacyjne...

Z interpretacji książkowej wynika, że dla obiektu, jakim jest kula o promieniu r, wykonana z jednorodnego materiału o gęstości ρ (niech to będzie kulka żelazna), najłatwiej jest spotkać atomy żelaza w kulistej warstwie powierzchniowej, a najtrudniej w środku kulki - tam ich nie ma! Podobnie rzecz się ma z świecącą żarówką. Jeśli świeci równomiernie i jednakowo we wszystkich kierunkach, to fotony równie łatwo można spotkać w każdej warstwie kulistej o dowolnym promieniu r o grubości dr... Taka interpretacja prowadzi do dziwacznego wniosku, że w każdej odległości od żarówki jest jednakowo jasno.

Skąd się biorą takie dziwaczne wnioski? Rozpatrzmy wzór (1) dla kulki żelaznej. Jeśli jest ona jednorodna, to w każdym elemencie objętości gęstość jest stała, czyli ρ = const. Jeśli tak, to gęstość radialna masy rośnie proporcjonalnie do kwadratu promienia! ρ(r)=ar², gdzie a = 4pr. Mamy zwykłą parabolę. Ta zależność (zupełnie oczywista i zapewne nieoczekiwana) nakazuje ostrożność w obchodzeniu się z gęstością radialną. Daje ona dziwny obraz zwykłej kulki, taki jak przedstawiony powyżej i przeczący naszemu, zdrowemu pojęciu o właściwościach fizycznych takiego prostego obiektu.

Ostrożność w szybkich interpretacjach nakazuje również wymiar gęstości radialnej. Jeśli przyjmiemy masę za podstawę gęstości, to wymiar gęstości radialnej wynosi [kg/m] i ma niewiele wspólnego z wymiarem [kg/m³], do którego jesteśmy przyzwyczajeni, i który dobrze służy ocenie właściwości gęstościowych obiektów materialnych.

Powstaje pytanie, jaka cecha fizyczna jest odpowiednia dla gęstości radialnej. Odpowiedź jest prosta: gęstość radialna jest miarą całkowitej masy (w naszym przykładzie z kulką) sfery kulistej o promieniu r o grubości dr. Im większy promień, tym większa masa takiej sfery. Proste. Dla naszych chemicznych potrzeb możemy wprowadzić definicję związaną z liczebnością. Miarą gęstości radialnej jest liczba atomów (albo innych obiektów materialnych) tworzących sferę. Im większy promień tym większa liczba atomów ją tworzy. To oczywiste. Można to uogólnić i powiedzieć, że gęstość radialna jest miarą całkowitej liczebności jakichś obiektów związanych z gęstością w cienkich warstwach kulistych.

Zajmiemy się teraz jednostajnie świecącą żarówką i wykorzystamy obraz gęstości radialnej opartej na liczebności. Niech żarówka wysyła równomiernie fotony we wszystkich kierunkach. Możemy powiedzieć, że w każdej warstwie kulistej jest ich taka sama ilość. Oznacza to tyle, że gęstość radialna jest stała, a dodatkowym wnioskiem jest to, że gęstość fotonów przypadających na element objętości maleje z kwadratem promienia. Innymi słowy, natężenie promieniowania maleje z kwadratem odległości od źródła (dodatkowym wnioskiem jest to, że źródło nie może być punktowe - musi być rozciągłe - bo natężenie promieniowania w punkcie będzie nieskończone). Istotnie bo jeśli r(r) = const, oraz const = 4pr²r, to aby zachować stałość tego wyrażenia, r musi być odwrotnością kwadratu promienia r = a/r². Ponownie widzimy, że gęstość radialna niezbyt dobrze oddaje nasze wyobrażenie o świeceniu zwykłej żarówki.

Jednak gęstość radialna (chyba lepszym określeniem jest jednak funkcja dystrybucji radialnej), traktowana jako liczebność, pozwala na skonstruowanie makroskopowego, przybliżonego modelu atomu wodoru np. w stanie podstawowym.

Przeprowadźmy eksperyment myślowy.

Zbudujmy obiekt składający się z zespołu współśrodkowych sfer. Ścianki sfer należy wykonać z cienkiego i wytrzymałego na ciśnienie tworzywa. Model nazwijmy dla zabawy "cebulą kwantową". Sfera najmniejsza ma promień r = 1 cm, sfera druga promień większy r = 2 cm itd. Niech tych sfer będzie na przykład 20. Załóżmy dalej, że do każdej sfery z osobna możemy doprowadzić za pomocą cienkich rureczek i zaworów gaz (np. gaz doskonały) i ustalić w niej żądane ciśnienie, a tym samym gęstość gazu (liczbę atomów gazu).

Zażądajmy, aby gęstość gazu w kolejnych, coraz większych sferach, zmniejszała się. Im dalej od środka, tym ciśnienie mniejsze. Możemy zażądać dodatkowo, aby gęstość gazu r (zatem i ciśnienie gazu) spadała zgodnie z pewną funkcją. Niech r = a*exp(-b*r), gdzie r jest numerem sfery (albo jej większym promieniem), a stałe a = 0.005 oraz b = 0.4 zostały tak dobrane, aby otrzymywać rozsądne wartości gęstości gazu. Oczywiście celowo dobraliśmy ekspotencjalną postać funkcji gęstości tak, aby była podobna do funkcji gęstości elektronowej stanu podstawowego atomu wodoru. Zależność gęstości gazu w poszczególnych sferach od ich numeru przedstawia poniższy wykres:

Zadajemy podchwytliwe pytanie. Jak zmienia się liczba atomów gazu w kolejnych, coraz większych sferach? Odpowiedź jest niemal zawsze taka sama: ponieważ ciśnienie maleje, zmniejsza się liczba atomów gazu w kolejnych sferach, prawda?

Łatwo policzyć, że wcale tak nie jest. Ponieważ, jak udowodniliśmy na poprzednich modelach, liczebność w sferze może być dana za pomocą wzoru na gęstość radialną, to okazuje się, iż w ostatnim modelu liczba atomów gazu najpierw rośnie, osiąga maksimum w sferze numer 5, a potem spada monotonicznie. Podobnie, jak na poniższym wykresie.

Odtworzyliśmy w przybliżeniu zachowanie się gęstości elektronowej w atomie wodoru. Możemy spokojnie usunąć mniemanie, że w odległości pierwszej orbity Bohra mamy jakieś szczególne prawa w łatwiejszym znajdowaniu elektronów. Aby całkowicie przekonać się o konieczności zastosowania brzytwy Ockhama, trzeba zadać sobie jeszcze jedno pytanie.

Skąd się bierze owo przeświadczenie, że gęstość radialna wskazuje, iż elektron najłatwiej spotkać w odległości pierwszej orbity Bohra. Myślę, ze jest to wynik swoistego "znormalizowania" pojęcia gęstości radialnej. W kontekście ostatniego modelu oznacza to tyle, że nieświadomie "pompujemy" gaz z każdej sfery do osobnego naczynia, ale każde naczynie ma jednakową objętość. Wówczas rzeczywiście, najłatwiej spotkać atomy gazu w naczyniu odpowiadającym sferze z maksymalną ich liczebnością. W takim naczyniu ciśnienie, a zatem gęstość jest największa. Ta nieświadoma procedura prowadzi nas jedynie w gąszcz kłopotów interpretacyjnych. Pozwolę sobie przytoczyć inny przykład, który unaoczni owe kłopoty z poszukiwaniem, w nieco bardziej humorystyczny i całkiem nieścisły sposób.

W państwie o powierzchni 7,7 mln km² mieszka 20 mln ludzi (gęstość zaludnienia wynosi 2,2 człowieka/km²), w innym państwie mieszka 4,1 mln obywateli na powierzchni 616 km². Gdyby się kierować myśleniem w kategoriach gęstości radialnej, to wychodzi na to, że w pierwszym państwie łatwiej jest spotkać człowieka niż w drugim, bo całkowita liczba ludności jest tam znacznie większa niż w drugim. Trudny do zaakceptowania wniosek i raczej niesłuszny.

Przedstawione zagadnienie jest raczej marginalne. Pokazuje jednak, pewną cechę współczesnej chemii kwantowej. Tą cechą jest "niedoinwestowanie dydaktyczne", czas znaleźć fundusze.

9. Dydaktyczna droga do lepszego rozumienia powiązania między gęstością elektronową i radialną gęstością elektronową w atomach - 1998

Poglądowe wyjaśnienie powiązania między gęstością elektronową i radialną gęstością elektronową stwarza ogromne trudności dydaktyczne. Celem pracy jest ułatwienie powiązania obu pojęć w spójny system. Gęstość elektronowa i radialna gęstość elektronowa są podstawowymi pojęciami, które zazwyczaj wprowadza się na początku kursu chemii z zakresu szkoły średniej. Wiadomo, że gęstość elektronowa stanu podstawowego atomu wodoru pokazuje zwiększanie się prawdopodobieństwa napotkania elektronu w maciupkiej objętości dV w miarę zbliżania się do jądra (rys.1):

Rys 1. Model chmury ładunku dla stanu podstawowego atomu wodoru.

 Radialna gęstość elektronowa jest najczęściej definiowana dla powłok elektronowych o symetrii kulistej i wyraża całkowite prawdopodobieństwo napotkania elektronu w powłoce kulistej zawartej między promieniami r oraz r + dr. Radialną gęstość elektronową dla atomu wodoru przedstawia się w postaci wykresu, który odzwierciedla przebieg funkcji typu f(r) = x²e^-2r (rys. 2):

Rys. 2. Wykres radialnej gęstości elektronowej stanu podstawowego atomu wodoru.

 Rysunki 1 i 2 obrazują dwa sposoby przedstawiania zależności dotyczących tego samego zjawiska, a wynikających z właściwości funkcji falowej opisującej zachowanie się elektronu w atomie wodoru. Trudności dydaktyczne powstają przy próbach przekonującego wyjaśnienia pochodzenia maksimum na wykresie radialnej gęstości elektronowej oraz przystępne powiązanie obu przedstawień w całość. Pojawianie się problemów związanych z poprawnym rozumieniem gęstościowych obrazów atomu wodoru można, moim zdaniem, sprowadzić do dwóch zasadniczych przyczyn. Pierwszą jest występowanie w definicjach gęstości trudnego pojęcia gęstości prawdopodobieństwa. Druga, to brak przekonujących przykładów pokazujących powiązania między gęstością i radialną gęstością na modelach innych niż atomy. Pokonanie powyższych trudności wymaga przeprowadzenia procesu przygotowawczego, którego zadaniem jest uświadomienie i przyswojenie ogólnych zależności między gęstością i gęstością radialną na obiektach makroskopowych, a także uświadomienie sensu fizycznego pojęcia gęstości radialnej na przykładach innych niż gęstość elektronowa. Dopiero przyswojenie takiej podstawy może pozwolić na poprawne rozumienie powiązań między obu gęstościami elektronowymi w atomie wodoru, a w konsekwencji i w innych atomach, w których funkcje elektronowe są zależne jedynie od promienia wodzącego. Realizacja przedstawionych zadań nie jest, na szczęście, zbyt trudna. Dzieje się tak, dlatego że zawsze możemy podać związek między gęstością pewnego obiektu i jego gęstością radialną, jeśli tylko obiekt jest kulisty, a jego gęstość (np. gęstość masy) jest stała lub jest funkcją wyłącznie odległości (promienia wodzącego) od geometrycznego środka obiektu. Matematycznym wyrazem takiej zależności jest fakt, że różniczka objętości dV kulistego obiektu spełniającego powyższe założenia zależy jedynie od promienia i jest dana równaniem 1:

Równanie 1.

Ponieważ gęstość ρ dowolnego obiektu w pewnym jego punkcie jest pochodną masy po objętości ρ = dm/dV, to wstawiając do tego wzoru dV z równania 1 i dokonując elementarnych operacji algebraicznych otrzymujemy równanie 2:

Równanie 2.

Równanie 2 nazywane jest gęstością radialną, którą oznacza się  ρ_r (równanie 3):

Równanie 3.

Należy ponownie podkreślić, że równanie 2 (lub równanie 3) nie musi dotyczyć związku miedzy gęstościami elektronowymi. Dotyczy związku między gęstościami obiektów makroskopowych. Pouczająca jest analiza obu gęstości w takim prostym obiekcie, jakim jest stalowa kulka od łożyska, czy też kula bilardowa. Jeśli założyć, że są porządnie wykonane, czyli że gęstość ρ materiału, z którego zostały zrobione jest taka sama w każdym punkcie, to gęstość radialna musi rosnąć wraz z kwadratem promienia na mocy równania 3:

Rys. 3. Wykres radialnej gęstości masy dla kuli bilardowej.

 Ten oczywisty, ale nieco zaskakujący wynik zmusza do postawienia pytania o sens fizyczny gęstości radialnej takiego obiektu, jakim jest na przykład kula stalowa. Zauważmy, że wymiarem rozpatrywanej tu gęstości radialnej w układzie SI jest [kg/m]. Jest to zatem gęstość liniowa - dziwna gęstość (dlatego lepiej nazywać ją funkcją dystrybucji radialnej a nie gęstością, ale cóż zwyczaj, to zwyczaj). Ta interpretacja jest mało obrazowa. Lepiej wyjaśnić, iż gęstość radialna jest miarą masy powłoki kulistej o promieniu "r" i grubości r+dr. Rzeczywiście im promień takiej cienkiej powłoki jest większy, tym jej masa musi być większa. Dla naszych dalszych potrzeb należy koniecznie przyrównać gęstość radialną do liczby atomów (cząsteczek) tworzących rozpatrywaną powłokę. Zatem gęstość radialna kulki stalowej jest miarą liczby atomów żelaza znajdujących się w tej powłoce. Inny przykład, bardziej zbliżony do świata o rozmiarach atomu. Wyobraźmy sobie jednostajnie świecącą żarówkę. Niech świeci jednakowo we wszystkich kierunkach. Jest oczywiste, że w każdej powłoce kulistej oświetlonej przez żarówkę, i której środkiem jest ta właśnie żarówka, jest tyle samo fotonów (traktowanych jako korpuskuły). Żarówka wszak świeci jednostajnie. Oznacza to, że gęstość radialna fotonów jednostajnie świecącej żarówki jest stała, a gęstość fotonów w objętości dV jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia wodzącego fotonów! Rozpatrzmy teraz model, który zasadniczo można zbudować w laboratorium, a który najbardziej zbliży nas do poprawnego rozumienia gęstościowych opisów atomu wodoru. Zbudujmy obiekt składający się z zespołu współśrodkowych sfer. Ścianki sfer należy wykonać z cienkiego i wytrzymałego na ciśnienie tworzywa. Model nazwijmy dla zabawy cebulą kwantową (rys. 4):

Rys. 5. Przekrój modelu współśrodkowych sfer wypełnionych gazem.

Sfera najmniejsza ma promień r = 1 cm, sfera druga promień większy r = 2 cm, itd. Niech tych sfer będzie na przykład 20. Załóżmy dalej, że do każdej sfery z osobna możemy doprowadzić, za pomocą zaworów, gaz (np. gaz doskonały) i ustalić w niej żądane ciśnienie, a tym samym gęstość gazu (liczbę atomów gazu). Żądamy, aby gęstość gazu w kolejnych, coraz większych sferach, zmniejszała się zgodnie z funkcją:

gdzie r jest numerem sfery (lub jej większym promieniem). Stałe a = 0,005, oraz b = 0,4 zostały tak dobrane, aby otrzymywać rozsądne wartości gęstości gazu. Celowo dobraliśmy ekspotencjalną postać funkcji gęstości, aby była podobna do funkcji gęstości elektronowej stanu podstawowego atomu wodoru.
Stawiamy dwa pytania:

1. Jaką funkcją można wyrazić gęstość radialną gazu w poszczególnych sferach?
2. Jaka jest masa gazu w poszczególnych sferach?

 Odpowiedź na pierwsze pytanie nie jest trudna. Wystarczy podstawić do równania 3 postać zaproponowanej funkcji gęstości, aby otrzymać żądane wyrażenie na gęstość radialną cebuli kwantowej (równanie 4.):

Równanie 4.

Masę gazu "m_r" w poszczególnych sferach możemy obliczyć przez wymnożenie gęstości gazu w danej sferze przez objętość V_r tej sfery (równanie 5.):

Równanie 5.

Obliczenia żądanych wielkości w poszczególnych sferach można wykonać za pomocą prostego programu "density" napisanego w języku Q-BASIC. Program oblicza: gęstość gazu w każdej sferze na podstawie zadanej funkcji gęstości "ro", radialną gęstość gazu w danej sferze z równania 3, objętość sfery i masę gazu w danej sferze przez wymnożenie objętości przez gęstość zawartego tam gazu. Wyniki są drukowane na ekranie i do pliku tekstowego "density.dat":*

'Program density
CLS
a = .005
b = .4
pi = 3.1415
OPEN "denstiy.dat"
FOR OUTPUT AS #1
FOR r = 1 TO 20
     ro = a * EXP(-b * r)
    'density of a gas in a sphere
    ror = 4 * pi * r ^ 2 * ro 'radial density of a sphere
    vr = 4 / 3 * pi * (r ^ 3 - (r - 1) ^ 3) 'volume of a sphere
    mr = ro * vr 'mass of a gas in a sphere
    PRINT r; ro; ror; mr
    PRINT #1, ro, ror, mr
NEXT r

Uzyskane wyniki zgromadzone w pliku density.dat, a przedstawiające zależności gęstości gazu, radialnej gęstości gazu i masy gazu w zależności od wielkości sfery cebuli kwantowej w analizowanym modelu zobrazowano na rysunkach 6, 7 oraz 8.

Rys. 6.  Wykres gęstości gazu w kolejnych sferach cebuli kwantowej.

Poniżej znajdują się dwa niemal identyczne wykresy, które pokazują gęstość radialną w kolejnych sferach oraz masę gazu w kolejnych sferach:

Rys 7. Wykres gęstości radialnej w kolejnych sferach "cebuli kwantowej"

Masa gazu:

Rys 8. Wykres masy gazu w kolejnych sferach modelu "cebuli kwantowej".

 Rysunek 6 pokazuje, że gęstość gazu maleje skokowo i w przybliżeniu ekspotencjalnie wraz ze wzrostem promienia sfery. Gęstość radialna zachowuje się podobnie jak w atomie wodoru, to znaczy: rośnie, osiąga maksimum i maleje. Podobne zachowanie wykazuje masa gazu w poszczególnych sferach, a tym samym liczba atomów (lub cząsteczek) gazu w każdej sferze. Model ten dobitnie pokazuje, że przebieg funkcji opisującej radialną gęstość elektronową stanu podstawowego atomu wodoru ma swoje makroskopowe analogie. Na podstawie uzyskanych wyników i wyjaśnień można przystąpić do powiązania w jedną całość obrazów gęstościowych atomu wodoru przedstawionych na rysunkach 1 i 2. Wystarczy wyobrazić sobie wykonanie wielu tysięcy (teoretycznie nieskończenie wielu) oznaczeń położenia elektronu w atomie wodoru. Pojawia się więc kilka tysięcy trójek współrzędnych (x,y,z) położenia elektronu względem jądra. Jeśli wszystkie wyznaczone położenia elektronu zrzutować na płaszczyznę, to powstanie obraz gęstościowy atomu wodoru przedstawiony na rysunku 1. Elementem wiążącym przedstawiony obraz z tym na rysunku 2 jest analizowany zbiór trójek współrzędnych. W celu otrzymania rysunku 2, dzieli się obszar wokółjądrowy na dużą liczbę (teoretycznie na nieskończoną liczbę) współśrodkowych cienkich sfer (ze środkiem na jądrze) o wzrastającym promieniu a następnie oblicza, ile trójek współrzędnych znalazło się w takiej sferze. Wykreślamy zależność liczebności trójek współrzędnych od promienia sfery. Powstaje wykres kształtem przypominający wykres gęstości radialnej.

Literatura:

• R. McWeeny, Coulson's VALENCE, Oxford University Press, Oxford 1979 (tłumaczenie polskie).
• A. Galska-Krajewska, K.M. Pazdro, Dydaktyka Chemii, PWN, Warszawa 1990. 

*Uwaga 2019. Dziś program  "density" napisałbym w VBA (Excel):

Sub density()
 a = 0.005
 b = 0.4
 Pi = 3.1415
 j = 1
 For r = 1 To 20
     ro = a * Exp(-b * r)
    'density of a gas in a sphere
    ror = 4 * Pi * r ^ 2 * ro   'radial density of a sphere
    vr = 4 / 3 * Pi * (r ^ 3 - (r - 1) ^ 3) 'volume of a sphere
    mr = ro * vr         'mass of a gas in a sphere
    Cells(j, 1) = r
    Cells(j, 2) = ro
    Cells(j, 3) = ror
    Cells(j, 4) = mr
    j = j + 1
 Next r
End Sub

8. Dydaktyka jak kinetyka

Wpis z roku chyba 2005, który przypominam tu w celach porządkowych

Dydaktyka - jej definicję można znaleźć w Wilkipedii. Postanowiłem zmienić nieco podręcznikową definicję dydaktyki chemii, tak aby nadać jej nieco bardziej żartobliwy, ale nie pozbawiony naukowego sensu naukowy charakter: Dydaktyka jest katalizatorem podnoszenia poziomu wiedzy. 

Proces przyswajania wiedzy składa się z dwóch etapów. Od poziomu wiedzy A uczymy się. Gromadzimy wiedzę właściwą i nadmiarową, która osiąga maksymalny poziom w punkcie B^#. Następuje moment zrozumienia (błysk geniuszu). Problem zaczyna się wyjaśniać. Odrzucamy zbędną wiedzę nadmiarową i schodzimy do poziomu C, w którym uzyskaliśmy prawdziwe zrozumienie, ugruntowaliśmy wiedzę. Jesteśmy mądrzejsi.

Kinetyczne zadanie dydaktyki: Maksymalne obniżenie bariery aktywacji zrozumienia, po której problem zaczyna się wyjaśniać.

Punktem wyjściowym dydaktyki nauk ścisłych jest oryginalne rozwiązanie naukowe bądź techniczne. Droga, po której autor doszedł do tego rozwiązania, jest zazwyczaj zbyt trudna do prześledzenia. Być może sam autor nie jest w stanie jej prześledzić. Dydaktyka jest tu walcem, który tę drogę wyrównuje. Potem każdy kto chce włożyć nieco wysiłku może tą drogą podążać.

Główne problemy dydaktyki chemii

Problemy wewnętrzne Problem bezruchu. Jak na tablicy pokazać ruch prowadzący do reakcji. Problem kolejności (czy pokazywać najpierw filmy reagujących cząsteczek, a potem wprowadzać abstrakcyjne symbole, czy olać to i robić, jak dotychczas). Problem ważności (czy podstawą rozważań teoretycznych mają być wyniki doświadczeń - casus cykloheksanu, czy proste ale szczególne przypadki geometryczne) Problem gigantyzmu (jak wobec olbrzymiej ilości struktur i reakcji uogólnić to wszystko). Problem wszechobecnych wyjątków (reakcje ogólne stanowią niewielki procent wszystkich reakcji). Problem odwrotnej polskiej notacji seksistowskiej. W polskiej nomenklaturze teroii kwasów i zasad Lewisa jest ten kwas i  ta zasada. Powinno być odwrotnie, ten zasad i ta kwasa. Chyba jasne dlaczego... Problem chemii kwantowej. Chemię kwantową można sformalizować za pomocą matematyki przestrzeni Hilberta, dlaczego nie uogólnić tego jeszcze bardziej? Problem aromatyczności. Ile czasu poświęci się jeszcze na naukowe rozważania o snach XIX wiecznej chemii, dlaczego nie rozpatruje się np.  problemu alifatyczności? Problem zewnętrzny Problem deprecjacji. Chemia używana jest, jak stara, tania dziwka, dostarczająca cywilizacyjnych przyjemności (tworzywa, lekarstwa, benzyna, barwniki, pachnidła). Po użyciu mówi się, że jest brzydka i śmierdzi... Po czym używa się jej ponownie.

Uwaga generalna

Młodzi chemicy mają gorzej   Obserwujemy na naszej Uczelni zdecydowanie zmniejszenie odsetku studentów z użytecznym, podstawowym wykształceniem chemicznym. Przyczyn tego zjawiska jest wiele. Jednym z nich jest zdecydowane obniżenie poziomu dydaktyki chemii w szkołach ponadpodstawowych. Przejawem zastępowanie niezbędnych doświadczeń teorią - koszmar. Nie będę się jednak rozwodzić nad żałosnym stanem nauczania chemii. Zwrócę uwagę na jeszcze jeden problem, który nie jest związany ze szkołami średnimi, ale wręcz odwrotnie, ze szkołami wyższymi i każdą instytucją państwową, albo prywatną (o ile taka istnieje) powołaną z mocy prawa do uprawiania nauk chemicznych. Myślę o naszym kraju, myślę o Polsce.   Problem który mam na myśli związany jest z niemal całkowitym wyrugowaniem języka polskiego z publikacji naukowych. Oczywiście język angielski jest konieczny w takich publikacjach, to jest jasne. Pytanie powstaje, jak młody człowiek ma się zapoznać z najnowszymi osiągnięciami chemii, skoro wszystko jest po angielsku? Usłyszę głosy oburzenia - przecież są paranaukowe czasopisma, są Wiadomości Chemiczne, Chemia i Biznes i sporo innych. Tak, ale to wszystko stanowczo za mało. Nie byłoby pewnie kłopotu, gdyby szybkość nauczania początkowego języka angielskiego była tak duża, jak szybkość rozwoju zainteresowań naukowych wśród młodych, chłonących świat ludzi. Tak jednak nie jest. Powstaje bariera dostępu do nowoczesnej, być może trudnej, ale jednak do wiedzy. Co z tym zrobić? Przyspieszyć nauczanie angielskiego? Nie! Rozwiązanie jest proste, ale wymagające patrzenia ku przyszłości z nastawieniem na szacunek dla języka polskiego. Każda publikacja naukowa, tworzona w Kraju, a publikowana po angielsku (choćby za granicą), ma mieć swój dokładny odpowiednik opublikowany w internecie w języku polskim. W ten sposób usunęłoby się przepaść dostępu do nauki, jaka powstała w latach siedemdziesiątych XX w., gdy zaprzestano publikować po polsku, przynajmniej w obszarze nauk chemicznych.

7. Utlenianie toluenu za pomocą manganianu(VII) potasu - możliwy mechanizm reakcji

 

Reakcje redoks bywają utrapieniem uczniów zgłębiających tajniki chemii zarówno na poziomie szkoły średniej jak i na studiach chemicznych. Zagadnienie to nie jest łatwe z tego względu na to, że zazwyczaj rozpatruje się bilans masowy takich reakcji. Z takiego bilansu wychodzi, że kilka (albo nawet kilkanaście) cząsteczek reaguje z kilkoma innymi cząsteczkami, co daje wiele cząsteczek produktów. Mnie, jako chemika organika, nie zadowala podejście bilansowe bo zamazuje mechanizm reakcji, a więc kolejność prostych reakcji, które prowadzą do produktów. Nie neguję konieczności bilansowania bo bilans pozwala na obliczenie pieniędzy, które się wkłada w reakcję licząc na zysk ze sprzedaży produktów. Chcę tylko, aby popatrzeć nieco bardziej szczegółowo na taką reakcję. 

Za przykład wziąłem mechanizm utleniania toluenu za pomocą KMnO₄. Jest to reakcja rodnikowa (przeniesienia pojedynczych elektronów) pomiędzy toluenem a nadmanganianem: